A equação de Navier-Stokes

A equação de Navier-Stokes é uma espécie de segunda lei de Newton para os fluidos (aqui os fluidos são considerados meios contínuos). Ela descreve o movimento de um fluído, líquido ou gás, dadas as condições iniciais.
Nos fluidos há uma força dissipativa que se opõe ao movimento. A medida de tal força, presente em todos os fluidos, em menor ou maior grau, é-nos dada pela viscosidade, υ, que aparece no segundo membro da equação. O termo fi entra em conta com forças externas, por exemplo, a gravidade.
Podemos, em princípio, saber como evoluem o campo de velocidades, u, e o campo de pressões, p, ao longo do fluído no decorrer do tempo. O problema é que não se conhecem soluções analíticas únicas e não divergentes, i. e., com significado físico; a equação tem de ser resolvida computacionalmente por métodos numéricos.
Provar a existência ou não existência de tais soluções é uma das grandes questões da matemática actual, de tal forma que este problema foi considerado pelo Clay Mathematics Institute um dos 7 problemas do milénio. Este instituto oferece um milhão de dólares a quem o solucionar. Mas, quem conseguirá?